电磁学整理（猴博士）

场强与场强的叠加

积分求场强与电场力

利用积分求场强

①对面投影，使面变成线

②建立

x

,

y

x,y

x,y坐标系

{

直线

:

x

轴与线重合

圆弧

:

原点位于圆心

\begin{cases} 直线:x轴与线重合 \\ 圆弧:原点位于圆心 \end{cases}

{直线:x轴与线重合圆弧:原点位于圆心​

③直线:选择线上任意一点，点宽度为

d

x

dx

dx,到

O

O

O距离为

x

x

x，求出该点对待求点的场强

d

E

dE

dE。

弧：选择线上任意一点，点对应角度为

d

φ

dφ

dφ，求出该点对待求点的场强

E

E

E。

④求出

d

E

dE

dE在

x

,

y

x,y

x,y轴的分量

d

E

x

,

d

E

y

dE_x,dE_y

dEx​,dEy​。

⑤对

d

E

x

,

d

E

y

dE_x,dE_y

dEx​,dEy​积分，求出

E

x

,

E

y

E_x,E_y

Ex​,Ey​，并合并。

电场力/库仑力

受力的电荷	力的大小	力的方向
点电荷	F = E q F=Eq F=Eq
带电体	①建立坐标轴坐标系/坐标系 ②受力体上取某点，求出其电量 d q dq dq ③求出场源电荷在点处的场强 E E E ④ F = E d q F=Edq F=Edq在带电体上的积分	遵循同性相斥，异性相吸的规律

场强的注意点

①描述静电场性质的两个基本物理量是

电场强度

‾

\underline{电场强度}

电场强度​与

u

n

d

e

r

l

i

n

e

电势

underline{电势}

underline电势，

 它们的定义式是

E

⃗

=

F

⃗

q

0

‾

\underline{\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}}

E
=q0​F
​​和

∫

A

点

电势零点

E

⃗

d

l

⃗

‾

\underline{\int_{A点}^{电势零点}{\vec{E}d\vec{l}}}

∫A点电势零点​E
dl
​。

②场强是矢量，既有大小又有方向。

③试验电荷是正电荷时，其所受电场力方向与场强方向相同 。

 试验电荷是负电荷时，其所受电场力方向与场强方向相反。

电通量，高斯定理

求通过某个面的电通量

当面与

E

E

E平行时，

φ

e

=

0

φ_e=0

φe​=0。

当有多个面时，求各个面的电通量，再将结果相加。

用高斯定理

φ

e

=

1

ε

0

∑

q

内

φ_e=\frac{1}{ε_0}\sum_{}^{}q_内

φe​=ε0​1​∑​q内​求场强。

电通量，高斯定理注意点

电介质中的高斯定理与静电能

用电介质中的高斯定理求场强

①当作没有电介质，求出场强

②将式子中的

φ

e

φ_e

φe​改成

ε

r

∮

s

E

d

s

ε_r∮_sEds

εr​∮s​Eds,并给结果乘上

ε

r

ε_r

εr​。

求极化电荷，束缚电荷

①求出电介质中真是的场强

E

E

E

②假设没有电介质，求出没有时的场强

E

无介质

E_{无介质}

E无介质​。

③将

E

无

介质

E_无介质

E无​介质表达式里的

q

q

q或

σ

σ

σ换成

q

极化

或

σ

极化，该场强记作

E

极化

q_{极化}或σ{极化}，该场强记作E_{极化}

q极化​或σ极化，该场强记作E极化​

④根据

E

=

E

无介质

+

E

极化

E=E_{无介质}+E_{极化}

E=E无介质​+E极化​求出

q

极化

或

σ

极化

q_{极化}或σ_{极化}

q极化​或σ极化​。

电介质中高斯定理注意

①静电场的高斯定理有两种形式：

∮

S

D

∗

d

s

=

∑

q

∮_SD*ds=\sum{q}

∮S​D∗ds=∑q,其中

q

q

q指的是高斯面

S

S

S内的自由电荷;

∮

S

E

∗

d

s

=

1

ϵ

0

∑

q

∮_SE*ds=\frac{1}{\epsilon_0}\sum{q}

∮S​E∗ds=ϵ0​1​∑q,其中

q

q

q指的是高斯面

S

S

S内的所有电荷，在电介质，

q

q

q包括自由电荷和极化电荷两部分。

②电介质中的电位移

D

D

D与自由电荷和极化电荷的分布有关。

③电介质充满整个电场且自由电荷的分布不发生变化时：

电介质中场强等于没有电介质时该点场强的

1

σ

r

倍

电介质中场强等于没有电介质时该点场强的\frac{1}{\sigma_r}倍

电介质中场强等于没有电介质时该点场强的σr​1​倍

静电能的能量/静电能

①求出场强

E

E

E（用距离r表示）

②体积微分

d

V

=

4

π

r

2

d

r

dV=4πr^2dr

dV=4πr2dr

③静电能

W

=

∫

V

1

2

ϵ

0

ϵ

r

E

2

d

V

W=\int_{V}\frac{1}{2}\epsilon_0\epsilon_rE^2dV

W=∫V​21​ϵ0​ϵr​E2dV

V指要求静电能的空间

电势，电势能

根据场强求电势

①求出场强

E

E

E（用距离r表示）

②如果题目指定了电势零点，则直接进行下一步；

 如果没有，则选择无穷远处为电势零点。

③

电势

V

=

∫

待求点的

r

值

电势零点的

r

值

E

∗

d

r

电势V=\int_{待求点的r值}^{电势零点的r值} {E*dr}

电势V=∫待求点的r值电势零点的r值​E∗dr

电势差/电压

①求出场强

E

E

E（用距离r表示）

②

U

a

b

=

U

a

−

U

b

=

∫

a

的

r

值

b

的

r

值

E

∗

d

r

U_{ab}=U_a-U_b=\int_{a的r值}^{b的r值} {E*dr}

Uab​=Ua​−Ub​=∫a的r值b的r值​E∗dr

取电荷元求电势

①对面投影，使面变成线。

②建立x,y坐标轴

{

直线：

x

轴与线重合

弧：原点位于圆点

\begin{cases} 直线：x轴与线重合\\ 弧：原点位于圆点 \end{cases}

{直线：x轴与线重合弧：原点位于圆点​

③

{

直线：选择线上任意一点，点宽度为

d

x

，到

O

距离为

x

，求出该点的电量

d

q

弧：选择线上任意一点，点对应角度为

d

φ

，求出该点的电量

d

q

\begin{cases} 直线：选择线上任意一点，点宽度为dx，到O距离为x，求出该点的电量dq\\ 弧：选择线上任意一点，点对应角度为dφ，求出该点的电量dq \end{cases}

{直线：选择线上任意一点，点宽度为dx，到O距离为x，求出该点的电量dq弧：选择线上任意一点，点对应角度为dφ，求出该点的电量dq​

④求出点到待求点的距离

r

待求点

r_{待求点}

r待求点​

⑤以无穷远处为电势零点，得出

d

U

=

d

q

4

π

ϵ

0

r

待求点

dU=\frac {dq}{4π\epsilon_0r_{待求点}}

dU=4πϵ0​r待求点​dq​

⑥

U

=

∫

d

U

U=\int{dU}

U=∫dU

电势/电势差的注意点

描述静电场性质的两个基本物理量是

电场强度

‾

\underline{电场强度}

电场强度​与

电势

‾

\underline{电势}

电势​，他们的定义式是

E

⃗

=

F

⃗

q

0

‾

\underline{\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}}

E
=q0​F
​​和

U

A

点

=

∫

A

点

电势零点

E

⃗

∗

d

l

⃗

‾

\underline{U_{A点}=\int_{A点}^{电势零点}{\vec{E}*d\vec{l}}}

UA点​=∫A点电势零点​E
∗dl
​。

①电势会沿着电场线的方向变小。

②一点的电势不是一成不变的，会随着电势零点的变化而变化。

③无论电势零点选在哪里，两点间的电势差是不会变的。

④场强是电势的微分

{

E

x

=

−

∂

U

∂

x

E

y

=

−

∂

U

∂

y

E

z

=

−

∂

U

∂

z

\begin{cases} E_x=-\frac{∂U}{∂x}\\ E_y=-\frac{∂U}{∂y}\\ E_z=-\frac{∂U}{∂z} \end{cases}

⎩
⎨
⎧​Ex​=−∂x∂U​Ey​=−∂y∂U​Ez​=−∂z∂U​​

电势能

电荷	电势能
点电荷 q q q	电势能
带电体	①建立坐标轴/坐标系 ②待求件上取某个点，求出其电量 d q dq dq ③求出点处，其他带电体的电势 ④ W = ∫ U d q W=\int{Udq} W=∫Udq

电场力对位移的电荷做功

①求出场源电势

V

V

V（用距离

r

r

r表示）

②找出受力电荷

q

q

q的起点距离

r

1

r_1

r1​,终点距离

r

2

r_2

r2​

③电场力做功

A

12

=

q

(

U

r

2

−

U

r

2

)

A_{12}=q(U_{r2}-U_{r2})

A12​=q(Ur2​−Ur2​)(若场源由多部分组成，则依次计算各部分的做功，最后叠加起来)

静电平衡

静电平衡的导体

①若两带电体放在一起，则：

 a、带电体中的电荷都会跑到表面

 b、可以吸引另一个带电体中相反的电荷

 c、带电体除表面外的部分

∑

q

=

0

\sum{q}=0

∑q=0

 d、带电体除表面外的部分

E

E

E处处为0

 e、带电体各处电势均相等

②若带电体接地，则靠近另一带电体这侧和没接地一样，而远离另一带电体这侧变为中性（通过该侧所有电荷入地/从大地进入等量的向电荷）

有静电平衡的导体，求场强

①根据下表，画出封闭曲面

②算出封闭曲面的电通量

Φ

e

\Phi_e

Φe​

③求出封闭曲面内的电荷量

∑

q

内

\sum{q_内}

∑q内​

④用高斯定理

Φ

e

=

1

ϵ

0

∑

q

内

\Phi_e=\frac {1}{\epsilon_0}\sum{q_内}

Φe​=ϵ0​1​∑q内​

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-AbRveLSV-1676049930286)(4.png)]

有静电平衡的导体，求电势

以无穷远处为电势零点，则

U

=

∫

r

+

∞

E

d

r

U=\int_r^{+\infty}{Edr}

U=∫r+∞​Edr

电容

平板板电容器

若平行班电容器电容器两板相对面积为

S

S

S,间距为

d

d

d，两板间介质的相对介电常数为

ϵ

r

\epsilon_r

ϵr​

一块板的带电量为

Q

Q

Q，电荷面密度为

σ

\sigma

σ

两板间场强为

E

E

E、电压为

U

U

U、相互作用力为

F

F

F

C

=

{

Q

U

ϵ

0

ϵ

r

S

d

,

Q

=

C

U

,

E

=

{

σ

ϵ

0

ϵ

r

U

d

2

F

Q

,

U

=

{

Q

C

E

d

,

F

=

E

Q

2

(

1

μ

F

=

1

0

−

6

F

,

1

p

F

=

1

0

−

12

F

)

C=\begin{cases} \frac{Q}{U}\\ \frac{\epsilon_0\epsilon_rS}{d} \end{cases} ,Q=CU,E=\begin{cases} \frac{\sigma}{\epsilon_0\epsilon_r}\\ \frac Ud\\ \frac {2F}Q \end{cases} ,U=\begin{cases} \frac QC\\ Ed \end{cases} ,F=\frac{EQ}2\\ (1\mu F=10^{-6}F,1pF=10^{-12}F)

C={UQ​dϵ0​ϵr​S​​,Q=CU,E=⎩
⎨
⎧​ϵ0​ϵr​σ​dU​Q2F​​,U={CQ​Ed​,F=2EQ​(1μF=10−6F,1pF=10−12F)

平行板中间有介质，求总电容

若两板间有多种东西，且每种的厚度分别为

d

1

,

d

2

,

…

,

d

n

d1,d2,\ldots,dn

d1,d2,…,dn

则相对介电常数为

ϵ

r

1

,

ϵ

r

2

,

…

,

ϵ

r

n

\epsilon_{r1},\epsilon_{r2},\ldots,\epsilon_{rn}

ϵr1​,ϵr2​,…,ϵrn​

则

c

=

ϵ

0

S

d

1

ϵ

r

1

+

d

2

ϵ

r

2

+

…

+

d

n

ϵ

r

n

c=\frac{\epsilon_0S}{\frac{d_1}{\epsilon_{r1}}+\frac{d_2}{\epsilon_{r2}}+\ldots+\frac{d_n}{\epsilon_{rn}}}

c=ϵr1​d1​​+ϵr2​d2​​+…+ϵrn​dn​​ϵ0​S​

(若某种为金属板，则

ϵ

r

=

+

∞

\epsilon_r=+\infty

ϵr​=+∞)

圆柱形电容器，球形电容器

圆柱形电容器中

R

2

>

R

1

R_2>R_1

R2​>R1​

电容器内部分区域有介质，且介质面与电容器垂直，求总电容

算出各段的电容

C

1

,

C

2

,

C

3

,

…

C_1,C_2,C_3,\ldots

C1​,C2​,C3​,…

C

=

C

1

+

C

2

+

C

3

+

…

C=C_1+C_2+C_3+\ldots

C=C1​+C2​+C3​+…

电容器储存的电场能

W

=

Q

2

2

C

=

1

2

Q

C

=

1

2

C

U

2

W=\frac{Q^2}{2C}=\frac 12QC=\frac 12CU^2

W=2CQ2​=21​QC=21​CU2

电容器两极间的位移电流

I

d

=

{

ϵ

r

ϵ

0

d

E

d

t

S

c

d

U

d

t

方向与

E

,

U

相反

I_d=\begin{cases} \epsilon_r\epsilon_0\frac{dE}{dt}S\\ c\frac{dU}{dt} \end{cases}\\ 方向与E,U相反

Id​={ϵr​ϵ0​dtdE​ScdtdU​​方向与E,U相反

磁场

利用表格求磁感应强度

求通电导线段/射线的磁感应强度

若代求点在导线或其延长线上，则磁感应强度为0；若不在，则按下列步骤计算：

①按电流方向找出导线的起点，终点及待求点到导线的距离为

r

r

r

②待求点与起点连线，连线与导线的电流方向的延长线的夹角为

θ

1

\theta_1

θ1​

③将待求点与终点连线，连线与导线的电流方向的延长线的夹角为

θ

2

\theta_2

θ2​

④

B

=

μ

0

I

4

π

r

(

c

o

s

θ

1

−

c

o

s

θ

2

)

B=\frac{\mu_0I}{4\pi r}(cos\theta_1-cos\theta_2)

B=4πrμ0​I​(cosθ1​−cosθ2​)

求长为

d

l

dl

dl的通电短导线的磁感应长度

若待求点在导线或其延长线上，则

d

l

dl

dl长导线的磁感应强度为0,

若不在，则

B

=

μ

0

I

d

l

s

i

n

θ

4

π

r

2

(

θ

是

I

方向与

r

的夹角

)

B=\frac{\mu _0Idlsin\theta}{4\pi r^2}(\theta是I方向与r的夹角)

B=4πr2μ0​Idlsinθ​(θ是I方向与r的夹角)

利用积分求磁感应强度

①选择与

I

I

I纯质，且经过待求点的方向，建立

x

x

x坐标轴。

②在坐标轴上去宽度为

d

x

dx

dx，与

O

O

O距离为

x

x

x的一点，求出该点对应通电部分的电流

d

I

dI

dI

③求出该点对应通电部分在待求点的磁感应强度

d

B

dB

dB

④

B

=

∫

d

B

B=\int{dB}

B=∫dB

利用安培环路定理求

B

B

B

①按照下表，判断出

B

B

B的方向，构造出相对应的闭合曲线

l

l

l，并随便假设个

l

l

l的方向

②求出

∮

B

d

l

\oint{Bdl}

∮Bdl

∮

B

d

l

=

B

∗

(

l

与

B

平行且同向部分

−

l

与

B

平行且反向部分

)

\oint{Bdl}=B*(l_{与B平行且同向部分}-l_{与B平行且反向部分})

∮Bdl=B∗(l与B平行且同向部分​−l与B平行且反向部分​)

③求出闭合曲线内的电流

∑

I

内

\sum{I_内}

∑I内​

 右手四指按闭合曲线的方向弯曲

 电流方向与伸直的拇指方向相同时

∑

I

内

\sum {I_内}

∑I内​取正，

 相反时

∑

I

内

\sum {I_内}

∑I内​取负

④用

∮

B

d

l

=

μ

0

∑

I

内

\oint{Bdl}=\mu _0\sum{I_内}

∮Bdl=μ0​∑I内​求出代求的磁感应强度

磁场里的力

判断有速度的电荷在磁场中收的力（洛仑兹力）

大小：

F

=

q

v

B

s

i

n

θ

(

其中

θ

是

v

与

B

的夹角

,

0

≤

θ

≤

π

)

F=qvBsin\theta(其中\theta是v与B的夹角,0\leq\theta\leq\pi)

F=qvBsinθ(其中θ是v与B的夹角,0≤θ≤π)

方向：正电荷：右手手腕到手掌是速度方向，手指根到指尖是磁场方向，此时拇指方向即是力的方向

​ 负电荷：与正电荷相反

带电粒子在磁场作用下运动

带电粒子

q

q

q以初速度

v

0

v_0

v0​进入磁场中

情况①：

v

0

/

/

B

v_0//B

v0​//B：粒子仍以

v

0

v_0

v0​作匀速直线运动

情况②：

v

0

⊥

B

v_0\bot B

v0​⊥B：粒子在垂直

B

B

B的平面内，以$ v_0$作匀速圆周运动。

运动半径：

R

=

m

v

0

q

B

运动周期：

T

=

2

π

m

q

B

(

式中

m

为粒子质量

)

运动半径： R=\frac{mv_0}{qB}\\ 运动周期： T=\frac{2\pi m}{qB}\\ (式中m为粒子质量)

运动半径：R=qBmv0​​运动周期：T=qB2πm​(式中m为粒子质量)

通电导线在磁场中受的力（安培力）

大小：

F

=

I

l

s

i

n

θ

(

式中

l

为电流起点到电流终点的直线距离，

θ

为电流起点到电流终点的方向与

B

的夹角，

0

≤

θ

≤

π

)

F=Ilsin\theta(式中l为电流起点到电流终点的直线距离，\theta为电流起点到电流终点的方向与B的夹角，0 \leq\theta\leq\pi )

F=Ilsinθ(式中l为电流起点到电流终点的直线距离，θ为电流起点到电流终点的方向与B的夹角，0≤θ≤π)

方向：让右手手腕到手掌与电流起点到终点方向一致，让手指根到指尖的方向与磁场方向一致，此时拇指方向就是所受安培力的方向。

载流线圈的磁矩

m

⃗

\vec{m}

m
，收到的力矩

M

⃗

\vec{M}

M

m

⃗

{

大小

:

m

=

N

I

S

(

N

为线圈匝数，

S

为线圈面积

)

方向

:

右手四指按电流

I

方向弯曲时，伸直的拇指表示

m

⃗

的方向

\vec{m}\begin{cases} 大小:m=NIS(N为线圈匝数，S为线圈面积)\\ 方向:右手四指按电流I方向弯曲时，伸直的拇指表示\vec{m}的方向 \end{cases}

m
{大小:m=NIS(N为线圈匝数，S为线圈面积)方向:右手四指按电流I方向弯曲时，伸直的拇指表示m
的方向​

M

⃗

{

大小

:

M

=

m

B

s

i

n

θ

(

θ

为

m

⃗

与

B

⃗

的夹角

,

0

≤

θ

≤

π

)

方向

:

可使

m

⃗

的方向接近

B

⃗

的方向的转向

\vec{M}\begin{cases} 大小:M=mBsin\theta(\theta为\vec{m}与\vec{B}的夹角,0\leq\theta\leq\pi)\\ 方向:可使\vec{m}的方向接近\vec{B}的方向的转向 \end{cases}

M
{大小:M=mBsinθ(θ为m
与B
的夹角,0≤θ≤π)方向:可使m
的方向接近B
的方向的转向​

霍尔效应

大小：

V

=

A

H

I

B

d

(

A

H

为霍尔系数，其大小与板本身有关

,

d

为导体板与

B

平行那个边的长度

)

V=A_H\frac{IB}{d}(A_H为霍尔系数，其大小与板本身有关,d为导体板与B平行那个边的长度)

V=AH​dIB​(AH​为霍尔系数，其大小与板本身有关,d为导体板与B平行那个边的长度)

方向：右手手腕到手掌与电流方向一致，手指根到指尖与磁场方向一致，拇指方向指向的面是电势较高的一侧

磁介质

判断三种磁介质

磁介质	相对磁导率 μ r \mu _r μr​的情况
抗磁质	μ r < 1 \mu _r<1 μr​<1
顺磁质	μ r > 1 \mu _r>1 μr​>1
铁磁质 (铁磁质其实算是顺磁质的一种特殊情况，因其用途广，故单独命名一类)	μ r > > 1 \mu _r>>1 μr​>>1 且会随着磁场 B B B的变化而变化

管内有磁介质，求螺线管内的磁感应强度，磁场强度

管内磁感应强度

 大小：

B

=

μ

0

μ

r

n

I

B=\mu _0\mu _r n I

B=μ0​μr​nI

 其中：

μ

r

\mu _r

μr​指的是管内磁介质的相对磁导率，

n

n

n指的是单位长度上线圈的匝数，等于

总匝数

总管长

\frac{总匝数}{总管长}

总管长总匝数​

管内磁场强度

 大小：

H

=

n

I

H=n I

H=nI

 其中，

n

n

n指的是单位长度上线圈的匝数，等于

总匝数

总管长

\frac{总匝数}{总管长}

总管长总匝数​

方向：与

B

B

B一致

磁介质的其他两个属性：

 磁导率：

μ

=

μ

r

μ

0

\mu=\mu _r\mu_0

μ=μr​μ0​

 磁化率：

x

=

μ

r

−

1

x=\mu _r-1

x=μr​−1

用磁介质中的安培环路定理求磁场强度与磁感应强度

①按照下表，判断出

H

H

H的方向，构造出相对应的闭合曲线

I

I

I，并随便假设个

I

I

I的方向。

②求出

∮

L

H

d

l

\oint_L{Hdl}

∮L​Hdl

​

∮

L

H

d

l

=

H

∗

(

l

与

H

平行且同向部分

−

l

与

H

平行且反向部分

)

\oint_L{Hdl}=H*(l_{与H平行且同向部分}-l_{与H平行且反向部分})

∮L​Hdl=H∗(l与H平行且同向部分​−l与H平行且反向部分​)

③求出闭合曲线内的电流

∑

I

内

\sum { I_内}

∑I内​

​ 右手四指按闭合曲线的方向弯曲，电流方向与伸直的拇指方向相同时，

∑

I

内

\sum { I_ 内}

∑I内​取正，相反时

∑

I

内

\sum { I_ 内}

∑I内​取反。

④用

∮

L

H

d

l

=

∑

I

内

\oint_L{Hdl}=\sum {I _ 内}

∮L​Hdl=∑I内​，求出

H

H

H，用

B

=

μ

0

μ

r

H

B=\mu _ 0 \mu _ rH

B=μ0​μr​H求出

B

B

B（

B

B

B和

H

H

H方向一致）

求束缚电流/磁化电流

①求磁介质中的

B

B

B;

②求出磁介质在代求表面处的

B

表面

B_{表面}

B表面​

③联立下列三个方程，解出束缚电流密度

j

′

j^{‘}

j′

j

′

=

M

c

o

s

θ

M

=

μ

r

−

1

μ

0

μ

r

B

表面

θ

=

0

…

}

  

⟹
  

j

′

=

…

(

j

′

值为正时束缚电流与导体内的电流同向，

j

′

值为负时束缚电流与导体内的电流反向

)

\left. \begin{matrix} j^{‘}=Mcos\theta\\ M=\frac{\mu _r-1}{\mu _0 \mu_r}B_{表面}\\ \theta=0 \end{matrix}\ldots \right\}\implies j^{‘}=\ldots\\ (j^{‘}值为正时束缚电流与导体内的电流同向，j^{‘}值为负时束缚电流与导体内的电流反向)

j′=McosθM=μ0​μr​μr​−1​B表面​θ=0​…⎭
⎬
⎫​⟹j′=…(j′值为正时束缚电流与导体内的电流同向，j′值为负时束缚电流与导体内的电流反向)

电磁感应

求通过某个面的磁通量

情况	磁通量 Φ \Phi Φ
平面法线方向与 B B B方向夹角为 θ \theta θ	P h i = ± B ∗ S c i n θ Phi=\pm B*Scin\theta Phi=±B∗Scinθ = ± B ∗ S ⊥ =\pm B*S_{\bot} =±B∗S⊥​
封闭曲面	Φ = 0 \Phi=0 Φ=0

(若面为封闭面，则

B

B

B穿出为正，反之为负)

利用积分通过某个面的磁通量

①建立垂直于

I

I

I的

x

x

x轴，

O

O

O点在

I

I

I上

②在代求面任取一窄长条，对应宽度为

d

x

dx

dx，与

I

I

I的距离为

x

x

x，求出窄长条的面积

d

S

dS

dS

③求出

I

I

I在窄长条处产生的磁感应长度

B

B

B

④总磁通量为

Φ

=

∫

B

d

S

\Phi =\int {B d S}

Φ=∫BdS

由磁通量变化产生的感应电动势通过

N

N

N匝闭合曲线的磁通量$\Phi $发生变化时：

电动势大小：

E

=

−

N

d

Φ

d

t

E=-N\frac{d\Phi}{dt}

E=−NdtdΦ​

电动势方向：磁通量增加时，右手拇指指向

B

B

B的反方向

​ 磁通量减少时，右手拇指指向

B

B

B的方向相对，磁通量减少时拇指与磁线方向一致，则弯曲的四指表示线圈中电动势/电流的方向

由切割磁感线产生的感应电动势

电动势大小：平动切割时：

E

=

B

l

v

⊥

(

l

:

导线在垂直于

B

的面的投影长

;

v

⊥

:

v

在垂直于

B

的面的投影长

)

E=Blv_{\bot}(l:导线在垂直于B的面的投影长;v_{\bot}:v在垂直于B的面的投影长)

E=Blv⊥​(l:导线在垂直于B的面的投影长;v⊥​:v在垂直于B的面的投影长)

​ 转动切割时：

E

=

1

2

B

ω

l

2

E=\frac 12 B\omega l^2

E=21​Bωl2

电动势方向：电源负极

→

\to

→电源正极

​ 右手拇指与

v

v

v与

w

w

w一致，让磁感线从掌心穿过，四指指尖指向正极，反方向为负极。

感应电流：若切割部分外接闭合电路，则电路中有感应电流，从负极

→

\to

→正极，若其不在电路中，则无感应电流（不过电动势还有的）

利用积分算切割产生的感应电动势

电动势大小：

①沿着待求导线建立坐标轴

O

x

Ox

Ox轴

②在坐标

x

x

x处取长度为

d

x

dx

dx的距离

O

O

O为

x

x

x的点

③求出点处，待求导线外的通电体产生的磁感应强度

B

B

B

④总电路

E

=

∫

B

r

d

x

E=\int {Brdx}

E=∫Brdx

电动势方向：电源负极

→

\to

→电源正极

​ 右手拇指与

v

v

v或

ω

\omega

ω一致，让磁感线从掌心穿过，四指指尖指向正极，反方向为负极

感应电流：若切割部分外接闭合电路，则电路中有感应电流，从负极

→

\to

→正极，若其不在电路中，则无感应电流（不过电动势还是有的）

螺线管中的磁能

磁能：

W

=

1

2

μ

0

μ

r

n

2

I

2

n

:

单位长度的匝数

μ

r

:

螺线管内磁介质的相对磁感率

v

:

螺线管的管内体积

磁能：W=\frac 12 \mu _0 \mu _rn^2I^2\\ n:单位长度的匝数\\ \mu _r:螺线管内磁介质的相对磁感率\\ v:螺线管的管内体积

磁能：W=21​μ0​μr​n2I2n:单位长度的匝数μr​:螺线管内磁介质的相对磁感率v:螺线管的管内体积

磁场的能量密度

W

=

B

2

2

μ

0

μ

r

W=\frac{B^2}{2\mu_0\mu_r}

W=2μ0​μr​B2​