极限运算法则——“高等数学”

• 算法结构

各位CSDN的uu们你们好啊，今天，小雅兰学习的内容是极限运算法则

回顾

无穷小的极限运算法则

   定理1：两个无穷小的和是无穷小

   定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

极限的四则运算法则

   定理3

   定理4

   定理5：极限的保序性

例题

   1.多项式（有理整函数）的极限

   2.有理分式函数的极限

复合函数的极限运算法则

极限运算法则小结

先回顾一下之前已经学过的知识——函数的极限

极限运算法则——“高等数学” 光靠函数的极限解题肯定是不够，存在着一定的局限性，所以我们就引出了一系列知识点

极限运算法则——“高等数学”

我们会学习到四则运算法则和复合函数极限运算法则 

极限运算法则——“高等数学”

从左向右依次为：双极限问题、右极限问题、左极限问题 

极限运算法则——“高等数学”

极限运算法则——“高等数学”

上次课我们学到了无穷大与无穷小，了解到了无穷大与无穷小的关系：在自变量的同一变化过程下，如果f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小，反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)不等于0，则1/f(x) 为无穷大

我们的回顾就到这里结束啦，下面我们进入正题

一、无穷小的极限运算法则

定理1：两个无穷小的和是无穷小

极限运算法则——“高等数学”

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极限运算法则——“高等数学”

 极限运算法则——“高等数学”

 这就是我们定理1的证明过程了，下面，我们趁热打铁，来看几道例题

极限运算法则——“高等数学”

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极限运算法则——“高等数学”

极限运算法则——“高等数学” 初学者很容易犯这样的错误，那么，正确的解法究竟是什么样子呢？ 

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 定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小

极限运算法则——“高等数学”我们来看一下证明过程

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极限运算法则——“高等数学”

 极限运算法则——“高等数学”

 这就是我们的定理2的证明过程了，下面，我们还有几个推论

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将推论2推广，可以得知：有限个无穷小的乘积也是无穷小 

然后，我们再来看几个例题

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sin x是有界函数，1/x是无穷小，这个例题完全诠释出了有界函数与无穷小的乘积是无穷小 

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有的人会这样写

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 这样的写法是不严谨的，因为当x趋向于无穷时，sin x的极限不存在

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看此例题，|cos 1/x |<=1,所以cos 1/x是一个有界函数，这又是一个有界函数与无穷小的乘积的问题

极限运算法则——“高等数学”

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再看一个例题 

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经过上述学习，大家已经知道了两个无穷小的和、差、积都是无穷小，那么肯定有人想：两个无穷小的商是无穷小吗？ 

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这个答案是否定的，相信大家可以看出，两个无穷小的商的极限的情况是非常复杂的 

二、极限的四则运算法则

定理3

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然后我们来证明一下(2)

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这个A是一个常数函数，β是一个无穷小，常数函数与无穷小的乘积是无穷小，所以A乘以β的极限是无穷小；同理，B是一个常数函数，α是一个无穷小， 那么B乘以α的极限也是无穷小。α是一个无穷小，β也是一个无穷小，两个无穷小的乘积是无穷小，所以α乘以β的乘积的极限是无穷小。

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下面说明两点此定理的注意事项

 （1）应用定理3时，要注意条件：lim f(x),limm g(x)均存在

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 下面来讲讲两个推论

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 定理4

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定理5 （极限的保序性）

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三、例题

极限运算法则——“高等数学”

1.多项式（有理整函数）的极限

 极限运算法则——“高等数学”

 极限运算法则——“高等数学”

来看几个简单的小题

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2.有理分式函数的极限 

极限运算法则——“高等数学”

来看几个小例题

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 结论

极限运算法则——“高等数学”

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一般性结论

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极限运算法则——“高等数学” 一个题目

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这时要记住，千万不能把分子展开，这样计算量太大了！！！直接看三次项系数之比 

四、复合函数的极限运算法则

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例题

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 极限运算法则小结

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 好啦，那小雅兰今天学习的内容就到这里了，未来还要继续加油哟！！！

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