sympy斐波那契数列

文章目录

• • fibonacci
  • tribonacci
  • 对比

fibonacci

斐波那契数列的递推公式大家都很熟悉了，是

F

n

=

F

n

−

1

+

F

n

−

2

F_n=F_{n-1}+F_{n-2}

Fn​=Fn−1​+Fn−2​，其在复数域的的解析延拓可表示为

F

z

=

ϕ

z

−

cos

⁡

(

π

z

)

ϕ

−

z

5

,

ϕ

=

5

−

1

2

F_z=\frac{\phi^z-\cos(\pi z)\phi^{-z}}{\sqrt{5}}, \phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2}

Fz​=5
​ϕz−cos(πz)ϕ−z​,ϕ=25
​−1​

根据斐波那契数列可构造斐波那契多项式，其递推公式为

F

1

(

x

)

=

1

,

F

2

(

x

)

=

x

F

n

(

x

)

=

x

F

n

−

1

(

x

)

+

F

n

−

2

(

x

)

\begin{aligned} F_1(x)&=1, \quad F_2(x)=x\\ F_n(x)&=xF_{n-1}(x)+F_{n-2}(x) \end{aligned}

F1​(x)Fn​(x)​=1,F2​(x)=x=xFn−1​(x)+Fn−2​(x)​

sympy中的fibonacci函数，当输入一个参数时会返回斐波那契数。

from sympy import print_latex
from sympy import fibonacci, Symbol
[fibonacci(x) for x in range(11)]

输出结果为

[

0

,

1

,

1

,

2

,

3

,

5

,

8

,

13

,

21

,

34

,

55

]

[0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55]

[0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55]。

当输入一个数字和符号时，则会返回斐波那契多项式

p = fibonacci(5, Symbol('t'))
print_latex(p)

tribonacci

tribonacci，从名字就能看出来，是和3有关的斐波那契数列，其递推公式为

T

n

=

T

n

−

1

+

T

n

−

2

+

T

n

−

3

,

T

0

=

0

,

T

1

=

1

,

T

2

=

1

T_n=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}, T_0=0, T_1=1, T_2=1

Tn​=Tn−1​+Tn−2​+Tn−3​,T0​=0,T1​=1,T2​=1，其对应的函数可表示为

T

0

(

x

)

=

0

,

T

1

(

x

)

=

1

,

T

2

(

x

)

=

x

2

T

n

(

x

)

=

x

2

T

n

−

1

(

x

)

+

x

T

n

−

2

(

x

)

+

T

n

−

3

(

x

)

\begin{aligned} T_0(x)&=0, \quad T_1(x)=1,\quad T_2(x)=x^2\\ T_n(x)&=x^2T_{n-1}(x)+xT_{n-2}(x)+T_{n-3}(x) \end{aligned}

T0​(x)Tn​(x)​=0,T1​(x)=1,T2​(x)=x2=x2Tn−1​(x)+xTn−2​(x)+Tn−3​(x)​

tribonacci数列前10项输出如下

from sympy import tribonacci
[tribonacci(x) for x in range(11)]

[

0

,

1

,

1

,

2

,

4

,

7

,

13

,

24

,

44

,

81

,

149

]

[0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149]

[0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149]

p = tribonacci(5, Symbol('t'))
print_latex(p)

T

5

(

x

)

=

x

4

+

3

x

2

+

1

T_5(x)=x^{4} + 3 x^{2} + 1

T5​(x)=x4+3×2+1

对比

接下来，可以绘制一下这两种数列的增长速率

import matplotlib.pyplot as plt
fs = [fibonacci(x) for x in range(11)]
ts = [tribonacci(x) for x in range(11)]
plt.plot(fs, label="fibonacci")
plt.plot(ts, label="tribonacci")
plt.legend()
plt.show()

对比如下